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By Donald W. Hight

An exploration of conceptual foundations and the sensible functions of limits in arithmetic, this article deals a concise creation to the theoretical examine of calculus. It analyzes the assumption of a generalized restrict and explains sequences and features to these for whom instinct can't suffice. Many routines with recommendations. 1966 variation.

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Sei K ein K¨orper und sei α ∈ K ein Element, fur ¨ das die Gleichung x2 = α keine L¨osung x in K hat. Als Beispiel kann K = Q und α = 2 dienen. Dann ist die Menge L = K × K mit der komponentenweisen Addition (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) und der Multiplikation (a, b)(c, d) = (ac + bdα, ac + bc) ein K¨orper. Man kann K durch die Abbildung a → (a, 0) als eine Teilmenge von L auffassen. In L hat die Gleichung x2 = α die L¨osungen x = (0, 1) und x = (0, −1). Schreibweise. Das Element (0, 1) des Korpers L wird auch als ¨ Ein beliebiges Element von L kann dann in der Form √ (a, b) = a + b α √ α geschrieben.

Geschrieben werden. 2. • Die konstante Folge (a, a, a, . . ) mit an = a ∈ R. • Die Folge 1 n n∈N . Die ersten Glieder sind 1, 12 , 13 , 14 , . . • Die Folge an = (−1)n , die abwechselnd die Werte 1 und −1 annimmt. • Die Folge n n+1 n∈N oder ( 12 , 23 , 34 , 45 , . . ). • Gelegentlich wird eine Folge auch mal an einer anderen Stelle als n = 1 n . beginnen, wie etwa n−1 n≥2 47 A. 1007/978-3-642-54810-9_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN 48 • Mit f0 = 0 und f1 = 1 wird durch die Vorschrift fn+1 = fn + fn−1 die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert.

9. 21. Ist f (x) = a0 + a1 x + · · · + ad xd eine Polynomfunktion und ist xn → a eine konvergente Folge, so gilt f (xn ) → f (a). Beweis. Dies folgt aus einer wiederholten Anwendung des Satzes. 22. Zwei konvergente Folgen an → a und bn → b haben genau dann denselben Grenzwert, wenn an − bn eine Nullfolge ist. Beweis. Seien a und b die Grenzwerte der Folgen, so gilt a − b = limn an − limn bn = limn (an − bn ). Nun ist a = b gleichbedeutend mit a − b = 0 und dies ist gleichbedeutend damit, dass an − bn gegen Null geht.

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