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By Anton Deitmar (auth.)

​In diesem Lehrbuch wird der Stoff einer dreisemestrigen Anfängervorlesung zur research in einer bisher nicht gekannten Prägnanz dargeboten ohne dass die Verständlichkeit der sprachlichen Darstellung dadurch vernachlässigt wird. Das Buch bietet so eine umfassende Vollständigkeit des Stoffes, die ihres Gleichen sucht.

Die Inhalte decken die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zum Thema üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes. Darüber hinaus sind Kapitel über metrische Räume und allgemeine mengentheoretische Topologie enthalten.

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Sei K ein K¨orper und sei α ∈ K ein Element, fur ¨ das die Gleichung x2 = α keine L¨osung x in K hat. Als Beispiel kann K = Q und α = 2 dienen. Dann ist die Menge L = K × K mit der komponentenweisen Addition (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) und der Multiplikation (a, b)(c, d) = (ac + bdα, ac + bc) ein K¨orper. Man kann K durch die Abbildung a → (a, 0) als eine Teilmenge von L auffassen. In L hat die Gleichung x2 = α die L¨osungen x = (0, 1) und x = (0, −1). Schreibweise. Das Element (0, 1) des Korpers L wird auch als ¨ Ein beliebiges Element von L kann dann in der Form √ (a, b) = a + b α √ α geschrieben.

Geschrieben werden. 2. • Die konstante Folge (a, a, a, . . ) mit an = a ∈ R. • Die Folge 1 n n∈N . Die ersten Glieder sind 1, 12 , 13 , 14 , . . • Die Folge an = (−1)n , die abwechselnd die Werte 1 und −1 annimmt. • Die Folge n n+1 n∈N oder ( 12 , 23 , 34 , 45 , . . ). • Gelegentlich wird eine Folge auch mal an einer anderen Stelle als n = 1 n . beginnen, wie etwa n−1 n≥2 47 A. 1007/978-3-642-54810-9_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN 48 • Mit f0 = 0 und f1 = 1 wird durch die Vorschrift fn+1 = fn + fn−1 die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert.

9. 21. Ist f (x) = a0 + a1 x + · · · + ad xd eine Polynomfunktion und ist xn → a eine konvergente Folge, so gilt f (xn ) → f (a). Beweis. Dies folgt aus einer wiederholten Anwendung des Satzes. 22. Zwei konvergente Folgen an → a und bn → b haben genau dann denselben Grenzwert, wenn an − bn eine Nullfolge ist. Beweis. Seien a und b die Grenzwerte der Folgen, so gilt a − b = limn an − limn bn = limn (an − bn ). Nun ist a = b gleichbedeutend mit a − b = 0 und dies ist gleichbedeutend damit, dass an − bn gegen Null geht.

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