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By Ehrhard Behrends

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders extensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was once ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind. Der textual content wurde für die vorliegende five. Auflage vom Autor noch einmal systematisch durchgesehen und mit einem weiteren Lösungsweg zur Konstruktion von reellen Zahlen ergänzt

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Die Antwort lautet in beiden Fällen "nein". Für das Kommutativgesetz ist das klar, auch für das Assoziativgesetz sind Gegenbeispiele leicht zu finden: Eine "AbschlussklassenArbeit" ist etwas anderes als eine "Abschluss-Klassenarbeit". Da das Assoziativgesetz nicht gilt, muss man in Zweifelsfällen klar machen, welche der beiden Möglichkeiten gemeint ist. Die Sprache kann das nicht immer gut ausdrücken , manchmal ist das Gemeinte nur aus dem Zusammenhang zu erschließen. Betrachten Sie etwa die Zeitungsmeldung "Mädchen und Jungen aus Elternhäusern mit höherer Schulbildung werden besonders intensiv von ihren Lehrern gefördert".

Nur der Nachweis der Implikation ist von Bedeutung. Der Beweis ist erst dann gültig, wenn Sie beides, Induktionsanfang und Induktionsschluss, bewältigt haben; erst dann gilt die Aussage für alle n E N. ): Für alle n E N ist n = 1. ): Für alle n E N ist In = O. ) 3. Das Prinzip der vollständigen Induktion gibt uns leider kein Hilfsmittel, zu den gültigen Sätzen zu kommen. Erst wenn der Satz formuliert ist, kann das Prinzip zum Beweis eingesetzt werden. Um den Satz zu finden, braucht es - wie fast immer in der Mathematik - Intuition, Erfahrung, Phantasie, ...

Zusammen: n + 1 liegt in allen induktiven Teilmengen, folglich auch in N. (ii) Sei n eine beliebige - für das Folgende fixierte - natürliche Zahl. Wir zeigen zunächst durch Induktion nach m, dass n + m für alle m zu N gehört . • Induktionsanfang: Die Aussage ist richtig für m Satzes. = 1 wegen Teil (i) des N: Eigenschaften 46 KAPITEL 1. DIE MENGE lR DER REELLEN ZAHLEN • Induktionsvoraussetzung: Die Aussage sei richtig für ein festes m E ]\:I • • Induktionsschluss: Wir wollen die Aussage für m + 1 beweisen: Gehört n + (m + 1) zu N?

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